1 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状．
(2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

2 . 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足，记点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（       ）

A．曲线关于轴、轴和坐标原点对称

B．周长的最小值为

C．面积的最大值为

D．点到坐标原点距离的最小值为

4 . 我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（       ）

A．10

B．20

C．30

D．40

5 . 下列命题中正确的是（       ）

A．若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆

B．双曲线与直线有且只有一个公共点

C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则

D．过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆

6 . 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．

7 . 已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.

(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.

9 . 2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（          ）

A．双纽线是中心对称图形

B．

C．双纽线上满足的点有2个

D．的最大值为

10 . 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．