1 . 已知椭圆过点，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标．

2 . 已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程.

3 . 已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.

4 . 已知椭圆:（）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

5 . 已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于A，两点，点的坐标为，且，求实数的值.

6 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（2）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
（i）证明：为定值；
（ii）连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.

7 . 已知过点的椭圆：的左右焦点分别为､，为椭圆上的任意一点，且，，成等差数列.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线：交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.

8 . 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆与轴正半轴的交点，点，在椭圆上且不同于点，若直线、的斜率分别是、，且，试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.

9 . 已知椭圆过点，、分别为椭圆C的左、右焦点，且.

（1）求椭圆C的方程；
（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.
（i）当面积最大时，求的方程；
（ii）求证：.

10 . 已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.