1 . 已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．

2 . 已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于A，B两点，求（为 坐标原点）面积的最大值.

4 . 已知椭圆：的长轴长为，且其离心率小于，为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点.

5 . 在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的长轴长与短半轴长之比为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与x轴，椭圆C依次相交于三点，点M为线段上的一点，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围．

7 . 已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.
(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.

9 . 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

10 . 已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.
(1)试求椭圆C的标准方程；
(2)A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.