1 . 舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．

   

2 . 舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.
   

3 . 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：

参考该同学的探究，下列结论正确的有：（       ）

A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)

B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)

C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)

D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)

4 . （1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的方程是.设斜率为的直线，交椭圆于 两点，的中点为.证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

5 . 3＜m＜9是方程表示的椭圆的_____条件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）

6 . 当时，方程可能表示____.（填写正确答案的序号：①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线）

7 . 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

   

(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值.

8 . 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．

9 . 椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．
请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．

10 . 求经过点和的椭圆的标准方程，并画出图形．