1 . 如图，已知椭圆的焦点为，，离心率为，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知椭圆：（其中）的右焦点为，直线过点与椭圆交于，两点，为坐标原点．
(1)求椭圆的长轴长和离心率；
(2)求的面积的最大值；

3 . 已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

4 . 如图，是椭圆的两个顶点，，直线的斜率为是椭圆长轴上的一个动点，设点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与轴分别交于点，与椭圆相交于，探究的面积与的面积的关系；并且证明.

5 . 在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C.

(1)求C的方程：
(2)设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：.

6 . 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记和的面积为和，求的最大值．

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求的范围．

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m．

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，.过与轴垂直的直线与椭圆交于点，点在轴上方，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.