1 . 已知椭圆的焦距为8，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于两点，试问直线上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆,过动点的直线交轴于点,交椭圆于点,(点在第一象限),且是线段的中点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,延长交椭圆于点．点在椭圆上．

(1)求椭圆的焦距;
(2)设直线的斜率为,直线的斜率为,证明：为定值;
(3)求直线斜率的最小值．

3 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

4 . 已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右焦点且.
   
(1)求的值及椭圆的方程；
(2)设直线平行于为原点)，且与椭圆交于两点A、.
(i)当面积最大时，求的方程；
(ii)当A、两点位于直线的两侧时，求证：直线是的平分线.

5 . 已知抛物线C₁：与椭圆C₂：（）有公共的焦点，C₂的左､右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C₂的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C₂顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF₁Q与∠PF₁R互为补角，求△F₁QR面积S的最大值.

6 . （1）已知椭圆C满足长轴长是短轴长的3倍，且经过P（3， 0），求椭圆的方程．
（2）已知圆C：及点A（1， 0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ与点M，求动点M的轨迹方程．

7 . 已知椭圆经过．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．

8 . 如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C，D两点．

(1)求椭圆的离心率；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求的取值范围．

9 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由.

10 . 已知点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为.
(1)求点M轨迹C的方程；
(2)若过点的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E､F（E在D､F之间），，试求的取值范围.