1 . 已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上，直线与椭圆E交于不同的两点A，B．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线OA，OB的斜率分别为，证明：；
(3)设直线l与两坐标轴的交点分别为P，Q，证明：．

2 . 已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．

3 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.

4 . 已知离心率为的椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于x轴的对称点为，过点斜率为的两条不重合的动直线与椭圆的另一交点分别为（皆异于点）.若，求点到直线的距离的取值范围.

5 . 已知椭圆过点，且离心率为.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、，各点均不重合且满足 ，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，试证明:直线过定点并求此定点.

6 . 已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

7 . 已知椭圆的长轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程和离心率.
(2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.