1 . 已知椭圆方程为（），离心率为且过点.
(1)求椭圆方程；
(2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
(3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．

3 . 如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上.

5 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

6 . 已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．

7 . 已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，与轴交于点，为坐标原点.
(1)证明：；
(2)若，求面积取得最大值时椭圆的方程.

8 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，过点的直线与轴的交点为，与椭圆在第一象限的交点为，且与x轴垂直．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线，分别交椭圆于，两点和，两点，且直线和分别与直线交于点，，若和的斜率分别为和，求证：．

9 . 已知椭圆经过点，离心率为，与轴交于两点，，过点的直线与交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，当点异于点时，求证：为定值.

10 . 已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值．