解题方法
1 . 已知椭圆C：
的短轴长为2，离心率为
．点
，直线
：
．
(1)证明：直线与椭圆
相交于两点，且每一点与
的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于
两点，与直线交于点
，求证：
．
的短轴长为2，离心率为．点，直线：．(1)证明：直线
与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；(2)若过点
的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
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名校
解题方法
2 . 已知椭圆
过点
，且离心率为
．设
，
为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线
，
分别与直线
相交于
，
两点，且直线
与椭圆交于另一点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．
过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)求证：直线
与的斜率之积为定值；(3)判断三点
，，是否共线：并证明你的结论．
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2022-10-11更新
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1671次组卷
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9卷引用：上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（五）数学试题
11-12高三·福建泉州·期末
名校
3 . 已知椭圆的方程为：
，其焦点在
轴上，离心率
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点
满足
，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为
，求证：
为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得
为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
的方程为：，其焦点在轴上，离心率.（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点
满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点
，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
4 . 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形
内接于椭圆
，其中点，分别在第三、四象限，边
，
与
轴的交点为
，
.
，且，为椭圆
的焦点，求椭圆的离心率；
(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点
也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：
是定值，并求出该定值；
(3)若是边长为1的正方形，边
，
与
轴的交点为
，
，设
（
，
，…，
）是正方形内部的100个点，记
，其中
，，
，
.证明：
，
，
，
中至少有两个小于81.
内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；(3)若
是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
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名校
解题方法
5 . 已知椭圆
的离心率是，左､右顶点分别为
，过线段
上的点
的直线与交于
两点，且
与
的面积比为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线
与
交于点.证明：点在定直线上.
的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.(1)求椭圆
的方程；(2)若直线
与交于点.证明：点在定直线上.
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名校
6 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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955次组卷
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8卷引用：2024年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷一（九省联考题型）
2024·全国·模拟预测
7 . 已知椭圆经过点
，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过右焦点
且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，连接
交椭圆于点．
（i）求证：直线过定点；
（ii）若过左焦点
的直线交椭圆于
，
两个不同的点，且
，求四边形
面积的最小值．
经过点，且离心率为．(1)求椭圆
的方程；(2)不过右焦点
且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，连接交椭圆于点．（i）求证：直线
过定点；（ii）若过左焦点
的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求四边形面积的最小值．
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名校
解题方法
8 . 已知椭圆的离心率为，一个顶点为
，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
（
是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.
的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于点.(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
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9 . 已知椭圆的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在轴上，延长BM与交于点
的取值范围为
.
(1)求椭圆、圆的方程;
(2)当直线BM经过点
时，求
的面积;
(3)记直线AM、AN的斜率分别为
，证明:
为定值.
的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在轴上，延长BM与交于点的取值范围为.(1)求椭圆
、圆的方程;(2)当直线BM经过点
时，求的面积;(3)记直线AM、AN的斜率分别为
，证明:为定值.
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解题方法
10 . 已知椭圆的左右顶点分别为和
，离心率为，且经过点
，过点作
垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点
，直线
和直线
分别交椭圆于两点，证明：直线
经过定点．
的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．(1)求椭圆
的标准方程；(2)判断直线
与椭圆的位置关系，并证明你的结论；(3)过点
作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．
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