1 . 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面
截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球
，
嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于
，
两点，
与
交于点
.过截线上的任意一点
作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点
，
（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且
就是长轴长.请将下述证明补充完整.
截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整.证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即 ， ， 在  中， ，在 中， ，所以 满足椭圆的定义，所以截线是以 ，为焦点的椭圆，就是长轴长. |
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2 . 圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆
为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线
表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为
．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为
．利用椭圆的光学性质解决以下问题：的离心率为_____________ ．
（2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为
在
上的射影
在圆
上，则椭圆的方程为_____________ ．
发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
的离心率为（2）点
是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为
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3 . 椭圆
：
的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为______ ．
：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为
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4 . 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆
的面积公式
．
②柱体的体积为底面积乘以高，
，
．
为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高
和拱宽?（结果精确到0.1米）以下结论可以直接使用：①椭圆
的面积公式．②柱体的体积为底面积乘以高，
，．
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5 . 圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线
构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为
；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为
.若与的离心率之比为
，则
（ ）
，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（ ）
A． | B． | C． | D． |
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6 . 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是 |
| B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 |
| C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 |
| D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 |
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2024-04-11更新
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170次组卷
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3卷引用：安徽省名校芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期12月份教学质量检测数学试题
7 . 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ）
为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ） A． | B． |
C． | D． |
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8 . 如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程__________ .
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9 . 如图所示，用一束与平面成
角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________ ．
成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为
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解题方法
10 . 已知农历每月的第
天（
，
）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为
，其中
为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）A．农历每月第 （ ， ）天和第 天的月相外边缘形状相同 |
B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 |
C．月相外边缘的离心率与 无关 |
D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间 内 |
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