1 . 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．
(1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；
(2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位）

2 . 已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）

3 . 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.

4 . 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.

(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.

7 . 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖．如图所示，（单位：十米，下同），O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，点M，N在椭圆上，MN平行AB交OD于G，且G在P的右侧，为灯光区，用于美化环境．

(1)若椭圆的离心率为，且，求的面积；
(2)若学校的另一条道路EF满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形状的小湖的最大面积．（椭圆的面积为）

8 . 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：

(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.

9 . 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，求该卫星远地点离地面的距离（结果用e，r，R表示）．

10 . 飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面200千米，远地点B距地面350千米，已知地球半径千米.

(1)求飞船飞行的椭圆轨道方程；
(2)飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为（a，b分别为椭圆的长半轴与短半轴的长），请问：飞船平均飞行速度每秒多少千米？（结果精确到0.01千米/秒，取3.14，）