1 . 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.

（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.求证：四边形的面积是定值.

2 . 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点，，丹德林（）利用这个模型证明了平面x与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点V到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点Q的坐标为（，0），过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线BQ与直线交于点E，试问直线EA是否垂直于直线l？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.

3 . 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，过点作的外角平分线的垂线交的延长线于点.
（1）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）设点，过点作一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，是坐标原点，求证：为定值.

4 . 如图：、是两个定点，且，动点到点的距离是4，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为3.

（1）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
（2）求证：点到点的距离与点到直线的距离之比为定值；
（3）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.

5 . 过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

6 . 在如图所示的等腰梯形中，，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，试用两种方法证明:

7 . 如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆．

8 . 已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是
（1）求曲线的方程；
（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

9 . 已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如下图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立. 则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为__________．   

10 . 已知椭圆：过点，其左焦点与点的连线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的一个动点，试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并证明.