1 . 设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆短轴的一个顶点,已知的面积为.如图,是椭圆上不重合的三个点,原点是的重心.(1)求椭圆的方程;
(2)求点到直线的距离的最大值;
(3)判断的面积是否为定值,并说明理由.
(2)求点到直线的距离的最大值;
(3)判断的面积是否为定值,并说明理由.
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2024-05-09更新
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465次组卷
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2卷引用:上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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2 . 若椭圆的焦点在轴上,焦距为,且经过点则该椭圆的标准方程为_________ .
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3 . 已知椭圆的焦点是,,长轴长是短轴长的2倍,求椭圆上的点到直线距离的最大值.
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4 . 阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中,还进一步研究了圆锥曲线的光学性质,例如椭圆的光学性质:(如图1)从椭圆一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.在对该性质证明的过程中(如图2),他还特别用到了“角平分线性质定理”:,从而得到,而性质得证根据上述材料回答以下问题
(1)如图3,已知椭圆的左右焦点分别为,一束光线从射出,经椭圆上点反射:处法线(与椭圆在处切线垂直的直线)与轴交于点,已知,求椭圆方程(直接写出结果)(2)已知椭圆,长轴长为,焦距为,若一条光线从左焦点射出,经过椭圆上点若干次反射,第一次回到左焦点所经过的路程为,求椭圆的离心率
(3)对于抛物线,猜想并证明其光线性质.
(1)如图3,已知椭圆的左右焦点分别为,一束光线从射出,经椭圆上点反射:处法线(与椭圆在处切线垂直的直线)与轴交于点,已知,求椭圆方程(直接写出结果)(2)已知椭圆,长轴长为,焦距为,若一条光线从左焦点射出,经过椭圆上点若干次反射,第一次回到左焦点所经过的路程为,求椭圆的离心率
(3)对于抛物线,猜想并证明其光线性质.
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5 . 已知分别是椭圆的左、右顶点,为坐标原点,,点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部,求直线的斜率的取值范围;
(3)当直线的倾斜角为锐角时,设直线、分别交轴于点,记,,求的取值范围.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部,求直线的斜率的取值范围;
(3)当直线的倾斜角为锐角时,设直线、分别交轴于点,记,,求的取值范围.
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6 . 在椭圆(双曲线)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心,半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根,则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为,该椭圆的上顶点和下顶点分别为,且,设过点的直线与椭圆交于两点(不与两点重合)且直线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:的交点的纵坐标为定值;
(3)求直线围成的三角形面积的最小值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:的交点的纵坐标为定值;
(3)求直线围成的三角形面积的最小值.
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7 . 已知椭圆以原点为中心,焦点在轴上,长半轴的长为6,离心率为,则椭圆的标准方程__________ .
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8 . 太曲线由曲线和曲线组成,其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点,点、为曲线所在圆锥曲线的焦点.
(2)作曲线第一象限中渐近线的平行线,若与曲线有两个公共点、,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;
(3)设,,若直线过点交曲线于点,求的面积的最大值.
(1)若,,求曲线的方程;
(2)作曲线第一象限中渐近线的平行线,若与曲线有两个公共点、,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;
(3)设,,若直线过点交曲线于点,求的面积的最大值.
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2024-03-12更新
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234次组卷
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2卷引用:上海市第二中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题
9 . 已知椭圆C:的离心率为,左、右顶点分别为A、B,过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q(异于A、B),且.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AP、QB的斜率分别为、,且,求的值;
(3)设和的面积分别为、,求的最大值.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AP、QB的斜率分别为、,且,求的值;
(3)设和的面积分别为、,求的最大值.
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2024-01-19更新
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393次组卷
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4卷引用:上海市华东师范大学第三附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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10 . 已知椭圆的左,右焦点分别为,下顶点为A,点M在直线上.
(1)若,线段AM 的中点在x轴上,求M 的坐标;
(2)若直线l与y轴交于B,直线AM 经过右焦点,在中有一个内角的余弦值为 ,求b的值;
(3)若,直线 l与椭圆Γ没有公共点,在椭圆Γ上存在一点,,点P到l的距离为d,且,当a变化时,求d的取值范围.
(1)若,线段AM 的中点在x轴上,求M 的坐标;
(2)若直线l与y轴交于B,直线AM 经过右焦点,在中有一个内角的余弦值为 ,求b的值;
(3)若,直线 l与椭圆Γ没有公共点,在椭圆Γ上存在一点,,点P到l的距离为d,且,当a变化时,求d的取值范围.
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