1 . 已知椭圆E：（），经过点，离心率为，圆O以椭圆的短轴为直径.
(1)求椭圆E的标准方程和圆O的方程；
(2)设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线，，设直线与椭圆E的另一个交点为Q，直线交圆O于A，B两点，求面积的最大值.

2 . 已知椭圆C：（）的离心率为，且过点．直线与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线OP的斜率为，求证：为定值；
(3)求△PAB面积的最大值．

3 . 已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.

5 . 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.

6 . 已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

7 . 椭圆的左右顶点分别为、，点在上且面积最大值为2.过点和点的直线与交于另外一点，且关于轴的对称点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)线段MC的长度能否为下列值：、？请直接写出结论.

8 . 已知椭圆的离心率为且椭圆经过点，为左右焦点.
(1)求椭圆方程；
(2)P是椭圆上任意一点，求的取值范围；
(3)过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

9 . 已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结.
(1)求面积的最大值；
(2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程.

10 . 若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________．