1 . 设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为.
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积.

2 . 已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且
求证：的面积为定值
在椭圆上是否存在一点P，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.

3 . 已知中心在原点的椭圆的左焦点，右顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线 与椭圆交于两点，求弦长的最大值及此时的直线方程.

4 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

5 . 如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P．
（1）求椭圆C及抛物线的方程；
（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值．

6 . 已知F是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆：，直线. 求当点在椭圆C上运动时，直线被圆所截得的弦长的取值范围.