1 . （1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；
（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；
（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证：为定值

2 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．

3 . 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．

4 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆恒过定点.

6 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.

7 . 设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点为椭圆上一点.拋物线的焦点与点关于直线对称.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.

8 . 已知椭圆的焦距为2，左、右焦点分别为、，A为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线(斜率不为0)与椭圆交于、两点，在轴正半轴上是否存在一点，使，若存在求点的坐标，若不存在说明理由．

9 . 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形AMBN面积的最大值．

10 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点，；
(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点．