1 . 如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．

（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．

2 . 已知椭圆的焦距为 ,短轴长为.
(1)求的方程;
(2)直线与相切于点M,与两坐标轴的交点为A与B,直线经过点M且与垂直,与的另一个交点为N.当取得最小值时,求的面积.

3 . 焦点是F（0,5），并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．

4 . 已知椭圆的焦距为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.

5 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

6 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）经过点，；
（2）短轴长为4，离心率为.

7 . 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于不同两点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线斜率为，求线段的长；
（3）设线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.