1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：过点，离心率为，其左右焦点分别为，．
(1)若点P与，的距离之比为，求直线被点P所在的曲线截得的弦长；
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，Q为上异于，的任意一点，直线，分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以为直径的圆经过x轴上的定点．

2 . 已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆左、右顶点，的坐标为，连接交椭圆于点，若为线段的中点，证明：．

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.

5 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

6 . 已知椭圆过点，且右焦点为，右顶点为A.过点F的弦为.直线、直线分别交直线于P、Q两点.

（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线、的斜率之积为定值；
（3）若，求m的值.

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.
①求的值；
②求证：直线的交点在定直线上.

8 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）过定点的直线与椭圆交于两点.（线不经过点），直线，的斜率为，，求证：为定值.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）过点，其离心率等于.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.
①求证：为定值：
②设与以为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线经过定点.

10 . 在直角坐标系中，椭圆经过点，右焦点到右准线和左顶点的距离相等，经过点的直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是直线上在椭圆外的一点，且，证明：点在定直线上.