1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.

2 . 已知椭圆E：，四点，，，中恰有三点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
①求的值；
②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，，，求的面积.

3 . 椭圆的上顶点A，右焦点F，其上一点，以为直径的圆经过F.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C有且只有一个公共点.求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1.

4 . 如图，已知椭圆：()，且离心率为，抛物线：().点是椭圆与抛物线的交点.

（1）求曲线和曲线的方程；
（2）过点P作斜率为k()的直线交椭圆于点A，交抛物线于点B(A，B异于点P).
①若，求直线的方程；
②过点P作与直线的倾斜角互补的直线，且直线交抛物线于点C，交椭圆于点D(C，D异于点P).记的面积为，的面积为.若，求k的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，.过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若过点的直线与直线垂直，且交椭圆于两点.是否存在直线，使得四边形的面积最小？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）设，，求的取值范围.

7 . 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.

（1）求椭圆E的方程；
（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；
（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.

8 . 设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点，F为C的右焦点，⊙F的方程为
（1）求C的方程；
（2）若直线与⊙O相切，与⊙F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记⊙O的面积为，求取最大值时，直线l的方程.

9 . 平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点．
①若直线过椭圆的右焦点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值；
②若直线的斜率为，试探究是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

10 . 已知点在椭圆上，椭圆离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．