1 . 已知椭圆C:的离心率为,且过
(1)求C的方程.
(2)若为上不与重合的两点,为原点,且,,
①求直线的斜率;
②与平行的直线与交于,两点,求面积的最大值.

2 . 已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，设，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点B，求证：和面积相等．

3 . 已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

5 . 已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.
(1)求的方程;
(2)已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程

6 . 如图，已知椭圆：经过点，、为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过右焦点的直线（不经过点）交椭圆于、两点，交直线：于点，若，求直线的斜率．

7 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点.

8 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求（O为坐标原点）面积的最大值．

9 . 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于两点．
（i）若，求线段的中点坐标；
（ii）当的面积取到最大值时，求的值．