1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.

2 . 已知椭圆经过点，且短轴长为2，经过点的直线与椭圆交于两点，且在轴上存在点，使得.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的焦距为2，且过点.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点.
①若点是线段的中点，求点的轨迹方程；
②设直线与直线交于点，求证：为定值.

5 . 已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；
（3）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，使为直角三角形(其中为坐标原点)？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.