1 . 如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.

2 . 已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．

3 . 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

4 . 已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．

5 . 已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（）求椭圆的方程．
（）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若,,三点共线，求的值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点，，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.

8 . 如图，椭圆C:（a＞b＞0）经过点P（2,3），离心率e=，直线l的方程为y=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过（0,3）的任一弦（不经过点P）．设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值．

9 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

10 . 如图所示，分别为椭圆的左、右两个焦点，A、B为两个顶点．已知椭圆C上的点到两点的距离之和为4．

（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦PQ的长．