1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于，两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若，求面积的取值范围．

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.

3 . 已知椭圆：（）经过点，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知椭圆E:，点和点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆上一点（异于C，D），直线与x轴分别交于M，N两点.证明:在x轴上存在两点A，B，使得·是定值，并求此定值.

5 . 已知椭圆C：的左焦点为，点在C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值.

6 . 已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.

7 . 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.

8 . 已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．
   

9 . 已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.