1 . 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．

2 . 已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.

3 . 已知点在椭圆上，且点到椭圆左顶点的距离是到右顶点距离的倍
(1)求椭圆的方程
(2)点是椭圆上的动点，且到动直线与的距离均为，直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，求证：为定值．

4 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上两点，直线与曲线相切，求的取值范围．

5 . 已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（       ）

A．椭圆的离心率为

B．椭圆的短轴长为

C．直线 与椭圆相交

D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为

6 . 已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且．
(1)求椭圆F的标准方程
(2)是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．

7 . 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；
（2）过点，且与椭圆有相同的焦点．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点为椭圆C上一点，过点的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．

9 . 已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以 为直径的圆都必过点，并求出点的坐标．