1 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足（为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的焦距为，且经过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点(不与短轴端点重合)满足，直线分别交椭圆于两点，求证：直线过定点.

3 . 已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.

5 . 已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．

6 . 已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．

7 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点，作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.

9 . 已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．   
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．

10 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．