1 . 如图，过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；

(1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；
(2)当点异于点时，求证：为定值．

2 . 已知椭圆过点，长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与直线交于点、，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

3 . 已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为坐标原点，直线交椭圆于，两点，且点是的重心，求的面积.

4 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求面积的取值范围．

5 . 已知椭圆：()的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.过椭圆右焦点作直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.

6 . 已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．

7 . 已知是椭圆：的左焦点，O为坐标原点，为椭圆上的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求面积的最大值，及此时直线的方程.

8 . 已知椭圆C：过点，，直线l：与椭圆C交于，两点．
Ⅰ求椭圆C的标准方程；
Ⅱ已知点，且A、M、N三点不共线，证明：向量与的夹角为锐角．