1 . 椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；
(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．

2 . 已知椭圆经过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，连接交椭圆于点．
（i）求证：直线过定点；
（ii）若过左焦点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求四边形面积的最小值．

3 . 已知椭圆C：过点，长轴长为.
(1)求椭圆方程及离心率；
(2)直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知椭圆的半焦距为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.

5 . 已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．

6 . 已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称.

7 . 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

8 . 已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．

9 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．

10 . 已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(1)求的标准方程；
(2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．