1 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

2 . 如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为；

(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上．

3 . 已知点和椭圆．
(1)设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆交于两个不同的点，直线与轴分别交于两点，求证：．

4 . 已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

5 . 设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）若直线在轴上的截距为，且，求．

6 . 如图，已知椭圆上的点到它的两焦点的距离之和为4， 分别是它的左顶点和上顶点..

（I）求此椭圆的方程及离心率；
（II）平行于的直线l与椭圆相交于两点，求的最大值及此时直线的方程.