1 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.

2 . 已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．

3 . 已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；
(2)若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值；
(3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：．

4 . 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．