1 . 如图，双曲线的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

(1)求双曲线的方程；
(2)设和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率是，焦点到相应准线的距离是3．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x＝4交于点P，Q．
①求证：AP，AQ斜率的积是定值；
②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．

3 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，它的离心率是双曲线的离心率的倒数．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．

4 . 已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．

5 . 已知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设的右顶点为，右焦点为，，证明：过三点的圆与轴相切．

6 . 已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.

7 . 已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.