1 . 已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率．
(1)若，求的渐近线方程；
(2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度.

2 . 已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．

3 . 已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

5 . 已知双曲线的焦距为，渐近线方程为，
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.