1 . 已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

2 . 已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为__________.

3 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

4 . 若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．

5 . 已知双曲线的离心率为．
(1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
(2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
(3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．

6 . 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．
   

7 . 已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．
       
(1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角；
(2)若，，，，试求双曲线的方程；
(3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

8 . 双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是______．

9 . 已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．

10 . 设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为．

(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数m的值；
(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值．