1 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

2 . 已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长；
②求证：.

3 . 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

4 . 已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.

5 . 已知点F为抛物线C：（）的焦点，且F到准线l的距离为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为4，过点F作直线的垂线交准线l于点Q.证明：直线与抛物线C只有一个交点.

6 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到其焦点的距离为.过点的直线与抛物线相交于两点.
（1）求抛物线的方程与准线方程:
（2）求证：为定值.

7 . 已知抛物线C的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点，求证：

8 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴，且过点，过的直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线是抛物线的准线，求证：以为直径的圆与直线相切.

9 . 已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，证明：以为直径的圆过原点.

10 . 已知动圆过点且与直线相切.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.