1 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

2 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为原点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若动直线：(为参数）与抛物线交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.

3 . 如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），记，的面积分别为.

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值.

4 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.

5 . 若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．

6 . 已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求C的方程；
(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.

8 . 已知椭圆C₁：(a>b>0) 的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²＝4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|＝.
(1)求椭圆C₁的方程；
(2)点P是椭圆上一点，且，求的面积.

9 . 已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.
(1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(2)点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值；
(3)过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度.

10 . 已知动点到点的距离比它到直线的距离大．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)，是轨迹上异于原点的两点，当时，求证：直线恒过定点．