1 . 已知抛物线的焦点为，且经过点.
(1)求；
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:.

2 . 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.

3 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

4 . 已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
(3)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．

5 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.

6 . 设抛物线上位于第一象限的点M与焦点F的距离为，点M到x轴的距离为2p，直线l与抛物线相交于A，B两点，且.
(1)求抛物线的方程和点M的坐标；
(2)求证：直线l恒过定点.

7 . 已知抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F，点A（4，）在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为过点（4，0）的任意一条直线，若交抛物线于M､N两点，求证：以MN为直径的圆必过坐标原点.

8 . 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

9 . 已知点F是拋物线C:y²=2px(p>0)的焦点,点M(x₀,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

10 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

(1)求的值；
(2)设是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．