1 . 已知抛物线（其中）的焦点为，点、分别为抛物线上两个动点，满足以为直径的圆过点，设点为的中点，当时，点的坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线、与抛物线的另一个交点分别为、，点、分别为、的中点，证明：直线过定点．

2 . 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，交直线l于点M，求证为定值．

3 . 设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

4 . 已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．

6 . 已知抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F，点A（4，）在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为过点（4，0）的任意一条直线，若交抛物线于M､N两点，求证：以MN为直径的圆必过坐标原点.

7 . 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点．

8 . 已知抛物线：经过点.
（1）若抛物线上一动点到准线的距离为，，求的最小值；
（2）若直线：与抛物线交于两点，为原点，证明：为定值.

9 . 已知点F是拋物线C:y²=2px(p>0)的焦点,点M(x₀,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.