1 . 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线，的斜率之积为，求证：直线过定点.

2 . 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，直线交抛物线E于两点．
(1)求E的方程；
(2)若以BC为直径的圆过原点O，求直线l的方程．

3 . 已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于不同两点A，B，且.
(1)求抛物线C的方程及焦点F的坐标：
(2)求的面积（O为坐标原点）.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.

(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.

5 . 给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.
（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；
（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.