1 . 已知抛物线过点，其焦点为，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆相切，切点分别为，求证：三点共线．

2 . 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

3 . 设抛物线的对称轴是轴，顶点为坐标原点，点在抛物线上，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线与抛物线交于、两点（和都不与重合），且，求证：直线过定点并求出该定点坐标.

4 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，求证：.

5 . 已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.

6 . 已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

7 . 已知抛物线的焦点为，点的坐标为，点在抛物线上，且满足，（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线，且与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，线段的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.
（1）求和的标准方程；
（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.

9 . 设抛物线上的点到焦点的距离.

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如图，直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点是.求证：直线恒过一定点.

10 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，求证: .