1 . 已知动圆M经过定点，且与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.

2 . 已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．

(1)求证：直线平分线段；
(2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．

3 . 设动点到点的距离与它到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)为与轴的负半轴的交点，为直线与在第一象限的交点，直线过点，且与相交于两点，过点作垂直于轴的直线分别与直线相交于点，分别记与的面积为与，求证：．

4 . 已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求的方程；
(2)点是的左顶点，直线交于两点，分别交直线于点，线段的中点为，直线与轴相交于点，直线的斜率为，求证：为定值．

5 . 在椭圆上，是椭圆上的左、右顶点，直线与椭圆交于两点，的斜率分别为.

(1)若，求证：直线过定点.
(2)直线交于点，直线交于点，求PQ的最小值.

6 . 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
(1)求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
(2)设点为直线上一点，且，求的最小值．

7 . 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.

(1)求证：;
(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，点P在C上（异于A，B两点），直线，的斜率之积为，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，记的面积为S，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

9 . 已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．

   

(1)当时，
①求证：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．