1 . 如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线的垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率.

3 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值．

4 . 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，R为椭圆C上异于A，B的一点，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线，分别交直线于两点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

5 . 已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．

6 . 已知，直线为平面内的一个动点，过点作的垂线，垂足为，且，动点的轨迹记为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，交圆于两点，且，当的面积最大时，求的倾斜角.

7 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，，分别为椭圆C的上、下顶点，椭圆C的右顶点为A，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过右顶点A的直线与C交于另外一点B，与垂直的直线与交于点M，与y轴交于点N；若，且（O为坐标原点），求直线的斜率．

8 . 设椭圆的左焦点，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围．

9 . 已知点是椭圆与抛物线的交点，且、分别为的左、右顶点.
(1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
(2)设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于两点，与相交于两点，，若直线的斜率为1，求的值；
(3)设直线，直线分别与直线交于两点，与的面积分别为，若的最小值为，求点的坐标.

10 . 已知椭圆C：（）过点，右焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小．