1 . 如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为是上的不同两点，且直线的斜率为，当直线过原点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，点都不在轴上，连接，分别交于两点，求点到直线的距离的最大值.

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是直线上的一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与椭圆相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

4 . 已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上．

6 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（1）求证：；
（2）若在射线上，且，求证：点在定直线上．

8 . 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点，，若直线与的斜率之和为1，求实数的值．

9 . 设椭圆的左顶点为，右顶点为，已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

10 . 在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，，的中点分别为，，的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为，若，求直线的方程．