1 . 已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）

2 . 椭圆的左、右顶点与双曲线的左、右顶点相同，过椭圆上一点作两直线分别与椭圆交于点A，B，直线AB与y轴负半轴交于点N，．
(1)求直线AB的斜率；
(2)直线AB与双曲线的左、右两支分别交于点Q，R，若，求λ的取值范围．

4 . 已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形在椭圆上，求的取值范围.

5 . 已知椭圆的四个顶点构成的四边形的周长为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，且（为坐标原点），动点满足，求面积的最大值．

8 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点.
(1)若，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；
(2)过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；
(3)试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.

9 . 在平面直角坐标系中，动点到的距离之和为4.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知点，若点是曲线上异于顶点的两个不同的点，且，记的面积为，问是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

10 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线的斜率之积为定值；
(3)求的取值范围.