1 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点．

2 . 已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．

4 . 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.

5 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，．若的周长为6，面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为，证明：为定值．

7 . 已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围．