1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

2 . 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A、B,且切线AB与圆的切点Q在轴右侧．是椭圆的右焦点．

（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用 与的式子表示）；
（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．

3 . 已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.

（1）若直线过点，求椭圆方程；
（2）求证：为定值.

4 . 已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；
（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；
（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

5 . 已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、分为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）求证：点、、三点共线；
（2）求的值；
（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

6 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是四条直线所围成的两个顶点,是椭圆上的任意一点,若，求证：动点在定圆上运动．

7 . 在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值.
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由.

8 . 已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形.
（1）若，，且为正方形，求该正方形的面积.
（2）若直线的方程为，和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，证明：.
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式.

9 . 已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点.证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.