1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且．
(1)求的标准方程;
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线与轴的交点为定点时，求的值．

2 . 已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A､B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率k_OP存在，试判断k与k_OP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.

(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.

5 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）.

(1)已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆（即图1中点的轨迹）的标准方程.
(2)经过椭圆的左焦点作直线，且直线l交椭圆于两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由.

6 . 如图所示，已知椭圆C：（）的焦距为2，且该椭圆经过点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设点是椭圆C上的动点，过原点引两条射线，与圆M：分别相切，且，的斜率，存在．
①试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线，与椭圆C分别交于点A，B，求的最大值．

7 . 已知定点，，动点P满足，记动点P的轨迹为．
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)已知动直线l的方程为，其中，若动直线l与曲线相交于M、N两点，且点M关于x轴的对称点为点Q，求证：直线QN经过一定点，并求出该定点坐标．

8 . 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为的左焦点，点为上位于第一象限的一点，M，N为y轴上的两个动点（点M在轴上方），满足，，线段PN交x轴于点Q.求证：为定值.

9 . 如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.

(1)当且时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.