1 . 平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

2 . 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣2，0），F₂（2，0），离心率为．过焦点F₂的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当四边形MF₁NF₂为矩形时，求直线l的方程．

3 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

5 . 已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
① 若直线垂直于轴，求的大小;
② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的左、右顶点的坐标分别为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的两焦点分别为,若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上.

7 . 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．