1 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．

2 . 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．

3 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求△OMN的面积；
(3)求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．

4 . 已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

5 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.

7 . 已知椭圆的左､右顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.

8 . 椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

9 . 已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点，

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

10 . 已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.