1 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．

2 . 已知椭圆：（）过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

3 . 已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P.
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.

4 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．

5 . 平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点.设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.
   
(1)求证：点在定直线上；
(2)直线与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.

6 . 已知椭圆的左右焦点为、，下顶点为，且椭圆过，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过的直线交椭圆于、两点，为坐标平面上一动点，直线、、斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程．

8 . 已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．

9 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，证明：直线与的交点在定直线上.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．