1 . 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．

2 . 在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点．当与轴垂直时，面积为12．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当与轴不垂直时，作线段的中垂线，交轴于点．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（       ）

A．为定值

B．

C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为

D．不存在直线使

4 . 已知双曲线过点（其中），且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点（异于顶点），为线段的中点，为直线上一点，且，过点作于点，求面积的最大值.

5 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
(3)求的最小值．

6 . 已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)求面积的最小值．

7 . 已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.
(1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；
(2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.

8 . 已知点O为坐标原点，点在双曲线C：上，过点P作C的一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点Q．若的面积为，则C的离心率是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知双曲线：（，）的右顶点为A，点在轴的正半轴上，且，：为的一条渐近线，过点A向作一条垂线，垂足为点，四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程．
(2)在轴上是否存在一点（异于原点），过点作直线，与双曲线相切于点，过点作直线，与双曲线交于不同的两点，，使得？

10 . 过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是___________．