1 . 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围．

3 . 已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

5 . 已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

7 . 给出下列说法：①方程表示的图形是一个点；②命题“若，则或”为真命题；③已知双曲线的左右焦点分别为，，过右焦点被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆：上有两点，，若点是椭圆上任意一点，且，直线，的斜率分别为，，则为定值；⑤已知命题“，满足，”是真命题，则实数.其中说法正确的序号是__________.